확률공부(2) - Independence, 조건부 확률, total probability

(1) 복습
Probability space는 (Ω,F,P)로 나타낸다.
Ω: sample space, F: σ-algebra(사건의 집합), P: probability measure/function

 

Probability Measure 중요한 특징들

명제: Continuity of probability measure

증명

F의 subset A,B,C는 다음과 같은 특징을 만족한다

properties summary

• A1와 A2가 disjoint(A1 ∩ A2 = ∅)이면, P(A1∩ A2)=0이다.

 

Independence

사건 A1와 A2에 대해서, P(A1∩ A2)=P(A1)P(A2)이면 두 사건은 Independent 하다. 즉, 하나가 일어날 확률이 다른 사건이 일어날 확률에 영향을 미치지 않는다.

General한 Independence 정의

A1, A2, A3가 independent하다면, 아래 네 개의 식이 만족해야만 한다.

 

 Q) A와 B가 independent하다면 A^c와 B도 independent함을 보여라.

 

 

Conditional Probability

다른 이벤트 B가 발생했음을 알고 있는 경우 이벤트 A의 발생 확률

probability of A given B

만약 A와 B가 independent하다면, 조건부 확률은 다음과 같다.

 

Total Probability

E={E1, ... En}이 sample space의 partition이라고 하자. 이 때 사건 A는 다음 식을 만족한다.

P(A) = P(A∩E1)+P(A∩E2)+...+P(A∩En)

이 식을 조건부 확률을 사용해서 변환시키면 다음과 같다.

 

Bayes' Rule

𝑃(𝐵|𝐴)가 주어졌을 때 𝑃(𝐴|𝐵)을 찾는, 즉 conditional pribability를 invert하는 방법이다.